以往的研究大都是研究宏觀參數(shù),如壓力、溫度和物料的宏觀尺寸等對凍干過程熱傳遞的影響,物料微觀結(jié)構(gòu)的影響忽略不計或被簡化,因此,只是對于均質(zhì)的液態(tài)物料和結(jié)構(gòu)單一固態(tài)物料比較適用。對于一般生物材料,凍干過程已干層多孔介質(zhì)實際上不是均勻的,而是具有分形的特點。然而分形多孔介質(zhì)中的擴散已不再滿足歐式空間的Fick定律,擴散速率較歐式空間減慢了,擴散系數(shù)不是常數(shù),與擴散距離還有關(guān)。已干層分形特征如何確定,以及怎么影響凍干過程熱質(zhì)傳遞,都是有待研究的問題。
從考慮生物材料的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā),根據(jù)已干層的顯微照片分析生物材料已干層多孔介質(zhì)的分形特性,確定已干層多孔介質(zhì)的分形維數(shù)和譜維數(shù),推導(dǎo)分形多孔介質(zhì)中氣體擴散方程,然后在1998年Sheehan和Liapis提出的非穩(wěn)態(tài)軸對稱模型的基礎(chǔ)上建立了考慮了已干層的分形特點的生物材料凍干過程熱質(zhì)傳遞的模型,即惰性氣體和水蒸氣在已干層中的連續(xù)方程采用的是分形多孔介質(zhì)中的擴散方程,擴散系數(shù)隨已干層厚度的增加呈指數(shù)下降。為了驗證模型的正確性,以螺旋藻為研究對象,用Jacquin等的方法根據(jù)螺旋藻已干層的顯微照片確定螺旋藻已干層分形維數(shù),用張東暉等人的方法求分形多孔介質(zhì)的譜維數(shù)。模型的求解借助Matlab和Fluent軟件,模擬了螺旋藻的凍干過程。
2.2.3.1分型多孔介質(zhì)中氣體擴散方程的推導(dǎo)
通常流體的擴散滿足Fick定律,固相中的擴散也常常沿襲流體擴散過程的處理方法。如果氣體的分子直徑自由程遠大于微孔直徑,則分子對孔壁的碰撞要比分子之間的相互碰撞頻繁得多。其微孔內(nèi)的擴散阻力主要來自分子對孔壁的碰撞,這就是克努森擴散,傳統(tǒng)的凍干模型已干層中水蒸氣和惰性氣體的擴散都是按傳統(tǒng)的歐氏空間的克努森擴散處理的,但對于生物材料已干層中的孔隙一般都具有分形的特征,使氣體在其中的擴散也具有分形的特點,下面從確定已干層分形特征入手,來推導(dǎo)已干層分形多孔介質(zhì)中的氣體擴散方程。
2.2.3.2已干層多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)特性
生物材料凍干過程已干層多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特性是影響凍干過程傳熱傳質(zhì)的很重要的一個因素。當(dāng)孔隙具有分形特點時, 多孔介質(zhì)中的熱質(zhì)傳遞不僅與為孔隙率有關(guān), 還與孔隙的大小和排列有關(guān),與孔隙的分形維數(shù)和譜維數(shù)有關(guān)。
(1)孔隙率的確定 與計算機所產(chǎn)生的圖像不同,實驗圖噪聲比較大,不便于直接利用軟件對圖像進行數(shù)字處理。在分析圖像之前,需要恰當(dāng)?shù)靥幚韴D像,目的就是減少噪聲,使圖像主要信息表達更加清楚。利用 Matlab 圖像處理把彩色圖像轉(zhuǎn)換為黑白圖像(二值圖)時,要給出黑與白的分界值, 即像素的顏色閾值,低于閾值的像素定義為白色,代表孔隙,否則為黑色,代表固體物料。轉(zhuǎn)化工具為Mat-lab的im2bw命令。
圖2-18為螺旋藻已干層顯微照片,當(dāng)顏色閾值取0.35時,圖2-18對應(yīng)的二值圖如圖2-19所示,考慮到在顯微鏡下觀測螺旋藻已干層結(jié)構(gòu)時有一定的厚度,固體物料有重疊,為了使處理的圖像更接近實際結(jié)構(gòu),這里閾值取偏小值0.35。在Matlab中二值圖是用1和0的邏輯矩陣存儲的,0為黑, 1為白,且很容易對矩陣進行各種運算。通過統(tǒng)計矩 0和1的數(shù)可得螺旋藻已干層孔隙率為0.83。
(2)分形維數(shù)的確定 多孔介質(zhì)孔隙分形維數(shù)的計算用常規(guī)的盒子法,即用等分的正方形網(wǎng)格覆蓋所讀人的圖像,網(wǎng)格單元的尺度為r。然后檢測每個網(wǎng)格單元中0和1的值,統(tǒng)計標(biāo)記為1的單元數(shù)N(r)。N(r)和1/r分別取成對數(shù)后,在以lnN(r)為Y軸坐標(biāo),以In(l/r)為X軸的坐標(biāo)上產(chǎn)生一個點,從兩個像素開始,以一個像素為步長逐步增加,對應(yīng)每一個r值,重復(fù)上述過程,得到一系列這樣的點,再根據(jù)這些點擬合成一直線,其斜率即為分形維數(shù)。為了減小計算量,取圖2-18—小部分進行計算,選中的小圖對應(yīng)的二值圖2-19所示。按這種方法計算的圖2-20的所示多孔介質(zhì)的分形維數(shù)的結(jié)果見圖2-21,圖中離散點用上述方法得到, 計算中,覆蓋網(wǎng)格分別取5X5~14X14。回歸直線方程為
相關(guān)系數(shù)為0.99628,其斜率即孔隙分形維數(shù)df= l. 722。
(3)譜維數(shù)的確定 Anderson等通過分形網(wǎng)格的模擬,得到時間t內(nèi),物質(zhì)粒子所訪問過的不同格子數(shù)Din(t)與譜維數(shù)d存在下述關(guān)系:
根據(jù)此式,就可以計算得到分形結(jié)構(gòu)的譜維數(shù)d。具體過程為從分形結(jié)構(gòu)中某一孔隙格子處發(fā)出一個物質(zhì)粒子,物質(zhì)粒子在分形結(jié)構(gòu)中的孔隙中各自隨機行走,計算時采用近似的螞蟻行走模型。如果行走到的格子以前沒有訪問過,那么就在獨立訪問過的格子數(shù)總和中加1[Din(t)=Din(t)+1]; 如果行走到的格子以前訪問過,那么就在訪問過的格子數(shù)總和中加 1(Null=Null+1);如果行走碰到分形結(jié)構(gòu)的邊界,那么行走終止,再在上面初始處發(fā)出一個物質(zhì)粒子,由于是隨機行走,此粒子的行走軌跡與剛才是不同的,最后對某時刻Din(t)求平均值,得到一組[Din(t),t]對應(yīng)值,取對數(shù)坐標(biāo),可以看到兩者是直線關(guān)系,由式(2-91)可知,直線的斜率就是d/2。譜維數(shù)與孔隙分形維數(shù)有很大關(guān)聯(lián),孔隙分形維數(shù)越小,意味著分形結(jié)構(gòu)中孔隙的比例少,相同時間內(nèi),粒子行走越狹窄,重復(fù)過的彎路越多,其所經(jīng)過的不同格子數(shù)越少,那么譜維數(shù)也就相應(yīng)小一些。對于孔隙分形維數(shù)相同的分形結(jié)構(gòu),如果孔隙分布排列不一樣,兩者之間的譜維數(shù)值一定也會有差別。
從圖2-20分形多孔介質(zhì)中孔隙部分任取一點,依次發(fā)出1000個物質(zhì)粒子,覆蓋網(wǎng)格重40x40,由上面的測定方法統(tǒng)計計算的結(jié)果見圖2-22中的離散點,回歸直線方程為:
直線斜率為0.67405,從而可得孔隙的譜維數(shù)d=1.348。
2.2.3.3分型多孔介質(zhì)中的擴散系數(shù)
擴散系數(shù)的實質(zhì)是單位時間粒子所傳輸?shù)目臻g,在普通擴散過程中,隨機行走的平均平方距離與時間成正比的關(guān)系:
式中,<r2(t)>為隨機行走的平均平方距離。在分形多孔介質(zhì)中,由張東暉等人的研究可知,平均平方距離和時間存在指數(shù)關(guān)系,
α被稱為與分形布朗運動相關(guān)聯(lián)的行走維數(shù),Orbach等發(fā)現(xiàn)
由此也可看到:譜維數(shù)是分形介質(zhì)靜態(tài)結(jié)構(gòu)和動態(tài)特性的一個中間橋梁。
在處理具有分形特征介質(zhì)的擴散系數(shù)時,一般都是在普通的擴散系數(shù)上加上分形特征的修正,由張東暉等人的模擬結(jié)果可知,分形多孔介質(zhì)中的擴散系數(shù)已不是常數(shù),而是隨徑向距離的增大而呈指數(shù)下降:
式中,D。為歐氏空間的擴散系數(shù);Ddf為分形結(jié)構(gòu)中的擴散系數(shù);r為擴散的距離;θ為分形指數(shù),與多孔介質(zhì)分形維數(shù)df和譜維數(shù)d有關(guān),由張東暉等人的推導(dǎo)可知θ=2(df-d)/d。這實際表明:在分形結(jié)構(gòu)中隨著擴散徑向距離的增大,擴散變得越來越困難,這是由于分形結(jié)構(gòu)孔隙分布的不均勻性造成的。